Progressões Aritméticas e Geométricas

Uma sequência numérica é definida como qualquer conjunto de números dispostos em uma ordem determinada. Cada elemento é chamado de "termo" ($a_1, a_2, \dots, a_n$). O domínio das progressões exige a compreensão das duas formas principais de evolução desses termos:

Uma P.A. é caracterizada por uma variação linear, onde cada termo (a partir do segundo) é o resultado da soma do termo anterior com uma constante fixa denominada razão ($r$).

• Classificações:
• Crescente: Quando a razão é positiva ($r > 0$).
• Decrescente: Quando a razão é negativa ($r < 0$).

• Constante: Quando a razão é nula ($r = 0$).

• Fórmulas Fundamentais:

• Termo Geral: $a_n = a_1 + (n - 1)r$
• Soma dos Termos Finitos: $S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}$ (Média aritmética dos extremos multiplicada pela quantidade de termos).

A P.G. descreve um comportamento exponencial. Nela, cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão ($q$).

• Classificações:
• Crescente: Termos positivos com $q > 1$, ou termos negativos com $0 < q < 1$.
• Decrescente: Termos positivos com $0 < q < 1$, ou termos negativos com $q > 1$.
• Alternante/Oscilante: Quando a razão é negativa ($q < 0$), alternando os sinais dos termos.

• Constante: Quando $q = 1$ ou $q = 0$ (após o primeiro termo).

• Fórmulas Fundamentais:

• Termo Geral: $a_n = a_1 \cdot q^{(n - 1)}$
• Soma de Termos Finitos ($q \neq 1$): $S_n = \frac{a_1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1}$
• Soma Limite (Infinita): Aplicável para $-1 < q < 1$. A fórmula converge para: $S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$